История
Краткая история реакционно-диффузионных систем
Как идея о том, что взаимодействие реакции и диффузии может порождать узоры, стала основой самостоятельного направления на стыке биологии, химии и математики — и как оно развивается сегодня.
Реакционно-диффузионные системы — это математические модели процессов, в которых вещества вступают в химические реакции и одновременно распространяются за счёт диффузии. Те же уравнения могут описывать, например, распространение популяции животных, которая размножается и расселяется по территории. Такое сочетание способно порождать сложные упорядоченные структуры.
В 1952 году Алан Тьюринг показал, что совместное действие реакции и диффузии может нарушить исходную однородность системы и привести к появлению пятен, полос и спиралей — структур Тьюринга. Эта работа стала одним из истоков теории формирования пространственных структур и математической биологии.
Более сложное обобщение — системы с перекрёстной диффузией, в которых перенос каждого компонента зависит от концентраций других компонентов. Их анализ особенно труден; важную роль здесь играют энтропийные методы. Ниже прослеживается путь от работ Фишера и Тьюринга к современным исследованиям перекрёстной диффузии.
Ключевые вехи
- 1937
Работы Фишера–КПП: основы классической теории
В июне 1937 года Рональд Фишер опубликовал нелинейное уравнение для пространственного распространения гена, дающего преимущество. В том же году Колмогоров, Петровский и Пискунов независимо получили классические результаты теории Фишера–КПП о бегущих волнах, включая минимальную скорость волны. Вместе эти работы заложили основы классической теории Фишера–КПП.
- 1952
Статья Тьюринга «Химические основы морфогенеза»
В статье 1952 года The Chemical Basis of Morphogenesis Алан Тьюринг математически показал, что два вещества («морфогены»), которые реагируют и диффундируют с разной скоростью, способны сами по себе превратить однородное состояние в пятна и полосы. Этот механизм позднее получил устоявшееся название неустойчивости, вызванной диффузией; сам Тьюринг этого термина не использовал.
- 1950-е — 1964
Реакция Белоусова–Жаботинского
В 1950-х годах Борис Белоусов открыл химическую реакцию, периодически меняющую цвет. Его ранние сообщения встретили скептически и долго не получали широкого признания. Позже Анатолий Жаботинский уточнил и объяснил эту систему, дав науке хрестоматийный химический осциллятор; в неподвижной среде она образует бегущие реакционно-диффузионные волны.
- 1961–1962
Модель ФитцХью–Нагумо: возбудимые среды
В 1961 году Ричард ФитцХью упростил сложное описание нервного импульса Ходжкина–Хаксли до модели с двумя переменными, описывающей возбудимую динамику. В 1962 году Нагумо с коллегами реализовали эквивалентную активную линию передачи. В пространственно распределённой форме она стала стандартной реакционно-диффузионной моделью возбудимых сред — систем, которые возбуждаются, а затем возвращаются в состояние покоя, как нервные волокна или сердечная ткань.
- 1968–1977
Диссипативные структуры Пригожина и брюсселятор
В 1968 году Илья Пригожин и Рене Лефевр предложили «брюсселятор» — теоретическую модель реакции, в которой возникают колебания, а при добавлении диффузии — пространственные структуры тьюрингова типа. Нобелевскую премию по химии 1977 года Пригожин получил за вклад в неравновесную термодинамику и теорию диссипативных структур.
- 1972
Модель «активатор–ингибитор» Гирера–Майнхардта
Альфред Гирер и Ханс Майнхардт предложили ставшую классической схему формирования биологических структур: короткодействующую самоусиливающуюся активацию, уравновешенную ингибированием более дальнего действия. Меняя параметры, модель даёт пятна, полосы и сетки; она была тесно связана с регенерацией и формированием структур у гидры.
- 1977; 1979
Файф–Маклеод и книга Файфа 1979 года
В 1977 году Пол Файф и Дж. Б. Маклеод доказали ключевые результаты, показывающие, что решения нелинейных уравнений диффузии могут сходиться к бегущим фронтам. Книга Файфа 1979 года Mathematical Aspects of Reacting and Diffusing Systems систематизировала предмет и помогла утвердить реакционно-диффузионный анализ как строгий раздел теории уравнений в частных производных.
- 1979
Модель перекрёстной диффузии Сигэсады–Кавасаки–Тэрамото
В статье 1979 года Spatial segregation of interacting species Нанако Сигэсада, Кокити Кавасаки и Эй Тэрамото предположили, что скорость перемещения каждой популяции зависит от плотности другой, — так возникло понятие перекрёстной диффузии. Это небольшое изменение породило математически сложную систему, полное понимание которой заняло десятилетия.
- 1980
Перекрёстная диффузия и пространственное разделение
Масаясу Мимура и Кокити Кавасаки показали, что перекрёстная диффузия, зависящая от плотности популяций, может вызывать пространственное разделение и стабилизировать сосуществование двух конкурирующих видов. Это был один из первых признаков того, что перекрёстная диффузия — самостоятельный механизм формирования пространственных структур, а не только техническое усложнение модели.
- 1981–1989
Окраска животных и «Математическая биология» Мюррея
В 1981 году Джеймс Мюррей показал, как реакционно-диффузионный механизм в областях разной формы и размера способен объяснить, почему у леопарда пятна, а на хвосте — полосы. Его популярная статья 1988 года How the Leopard Gets Its Spots и учебник Mathematical Biology 1989 года донесли эти идеи до широкой аудитории и воспитали поколение исследователей.
- 1990
Экспериментальное наблюдение структур Тьюринга
Почти через сорок лет после предсказания Тьюринга группа Патрика Де Кеппера в Бордо получила широко признанную экспериментальную реализацию стационарных структур Тьюринга — гексагональных пятен и полос — в специально сконструированном гелевом реакторе (реакция CIMA). Это стало весомой экспериментальной поддержкой теории.
- 2009
Структуры Тьюринга у живых организмов
Группа Сигэру Кондо в Осаке показала у рыбки данио динамику и клеточные взаимодействия, согласующиеся с реакционно-диффузионным механизмом тьюрингова типа. Эксперименты не установили в строгом смысле классическую химическую природу этого механизма, но стали наглядным свидетельством того, что тьюринговская динамика может работать в живой биологии.
- 2015
Метод ограниченности через энтропию
Ансгар Юнгель из Венского технического университета разработал метод для широкого класса систем перекрёстной диффузии с энтропийной или градиентной структурой. Переходя к «энтропийным переменным», он доказал глобальное существование ограниченных слабых решений при соответствующих структурных предположениях — без обычного принципа максимума.
- 2017/2018
Перекрёстная диффузия для многих видов
Опираясь на энтропийный подход, Сюцин Чэнь, Эстер Даус и Ансгар Юнгель доказали глобальное существование решений для реакционно-диффузионных систем с перекрёстной диффузией и любым числом конкурирующих видов при предположениях detailed balance или слабой перекрёстной диффузии. Работа вышла онлайн в 2017 году и в печати в 2018-м и показала, как энтропийные методы распространяются на широкий класс многовидовых моделей.
Учёные, определившие направление
Рональд Фишер
Университетский колледж Лондона / Кембридж · 1890–1962
Независимо от группы КПП в 1937 году заложил основы теории реакционно-диффузионных систем. Его «уравнение Фишера» описывает распространение в популяции гена, дающего преимущество, в виде бегущей волны; кроме того, он один из основателей современной статистики.
Андрей Колмогоров
МГУ · 1903–1987
Вместе с Иваном Петровским и Николаем Пискуновым (работа «КПП», 1937) провёл первый строгий анализ реакционно-диффузионного уравнения, включая минимальную скорость его бегущей волны.
Алан Тьюринг
Манчестер / Кембридж · 1912–1954
В 1952 году показал, что различие в скоростях диффузии способно нарушить устойчивость однородного состояния и привести к появлению стационарных пространственных структур. Этот механизм позднее получил название неустойчивости, вызванной диффузией, и лежит в основе структур Тьюринга и значительной части современной теории формирования пространственных структур.
Илья Пригожин
Свободный университет Брюсселя / Университет Техаса · 1917–2003
Глава брюссельской школы неравновесной термодинамики. Вместе с Рене Лефевром предложил модель «брюсселятор»; в 1977 году получил Нобелевскую премию по химии за вклад в неравновесную термодинамику и теорию диссипативных структур.
Борис Белоусов
Институт биофизики, Москва · 1893–1970
Химик, открывший в 1950-х годах колебательную реакцию, периодически меняющую цвет. Его ранние сообщения встретили скептически и долго не получали широкого признания; после доработки Жаботинским система стала реакцией Белоусова–Жаботинского — классической экспериментальной реакционно-диффузионной системой.
Ханс Майнхардт
Институт Макса Планка, Тюбинген · 1938–2016
Вместе с Альфредом Гирером создал модель «активатор–ингибитор» для формирования биологических пространственных структур (1972). Почти всю карьеру провёл в Институте Макса Планка в Тюбингене, объясняя природные структуры — от гидры до морских раковин.
Джеймс Мюррей
Оксфорд / Вашингтонский университет · р. 1931
Один из основателей современной математической биологии. В 1981 году применил реакционно-диффузионную теорию к окраске животных, в 1988-м представил эти идеи широкой аудитории в статье How the Leopard Gets Its Spots и написал влиятельный учебник Mathematical Biology 1989 года.
Масаясу Мимура
Хиросима / Университет Мэйдзи, Япония · 1941–2021
Ведущий японский исследователь формирования пространственных структур в реакционно-диффузионных системах. Вместе с Кавасаки показал, как перекрёстная диффузия разделяет конкурирующие виды; основал институт MIMS при Университете Мэйдзи.
Пол Файф
Университет Аризоны / Университет Юты · 1930–2014
Помог превратить теорию реакционно-диффузионных систем в строгий раздел теории уравнений в частных производных: доказал ключевые результаты о бегущих фронтах и написал фундаментальную монографию 1979 года Mathematical Aspects of Reacting and Diffusing Systems.
Нанако Сигэсада
Математический биолог и теоретический эколог · соавтор модели SKT (1979)
Вместе с Кавасаки и Тэрамото предложила модель популяций с перекрёстной диффузией (SKT, 1979), в которой скорость переноса каждого вида зависит от плотности других видов, — одну из основополагающих моделей математической теории перекрёстной диффузии.
Ансгар Юнгель
Венский технический университет (TU Wien), Австрия · профессор с 2006
Ведущий специалист по анализу систем перекрёстной диффузии. Его «метод ограниченности через энтропию» использует переход к «энтропийным переменным», позволяя получать глобальные ограниченные слабые решения для широких классов систем с необходимой энтропийной структурой; он распространил метод на системы со многими видами и в 2021 году был удостоен гранта ERC Advanced.
Университеты и научные центры
Венский технический университет (TU Wien)
Вена, Австрия
В Институте анализа и научных вычислений TU Wien Ансгар Юнгель развивал строгий анализ систем перекрёстной диффузии и метод ограниченности через энтропию. В 2021 году он был удостоен гранта ERC Advanced.
Оксфордский университет
Оксфорд, Великобритания
Центр математической биологии Вольфсона был основан в 1983 году под руководством Джеймса Мюррея; с 1992 года им руководит Филип Майни. Это важный центр исследований формирования пространственных структур в реакционно-диффузионных системах и биомедицинского моделирования.
Кембриджский университет
Кембридж, Великобритания
Алан Тьюринг был членом Кингс-колледжа Кембриджского университета. В Департаменте прикладной математики и теоретической физики (DAMTP) по-прежнему активно изучают реакционно-диффузионные системы и неустойчивость Тьюринга.
Университет Мэйдзи (MIMS)
Токио, Япония
Здесь находится Институт перспективных исследований в математических науках (MIMS), созданный в 2007 году. Масаясу Мимура был его основателем и первым директором; институт исследует реакционно-диффузионные системы и самоорганизацию пространственных структур.
Университет Бордо / CNRS
Бордо, Франция
В Центре исследований имени Поля Паскаля группа Патрика Де Кеппера получила широко признанную экспериментальную реализацию стационарных структур Тьюринга в химической реакции CIMA.
Свободный университет Брюсселя
Брюссель, Бельгия
Здесь сложилась брюссельская школа неравновесной термодинамики Пригожина; здесь были разработаны модель брюсселятора и теория диссипативных структур (Нобелевская премия по химии 1977 года).
Университет Осаки
Осака, Япония
Работы Сигэру Кондо в Graduate School of Frontier Biosciences исследовали клеточные механизмы формирования полос у рыбки данио; наблюдаемая динамика согласуется с реакционно-диффузионным механизмом тьюрингова типа.
Гейдельбергский университет
Гейдельберг, Германия
В Гейдельбергском университете Анна Марциняк-Чохра исследует реакционно-диффузионные системы с ОДУ, неустойчивость, вызванную диффузией, и математические модели динамики стволовых клеток.
Как это связано с нашей работой
Наша работа продолжает эту исследовательскую линию. Мы изучаем системы с перекрёстной диффузией, восходящие к модели Сигэсады–Кавасаки–Тэрамото, и используем энтропийные методы, развитые Ансгаром Юнгелем. Нас интересуют сильно связанные уравнения в частных производных с градиентной структурой, а также оценки, которые гарантируют физическую содержательность решений.
Эти подходы важны не только для биологии. Мы применяем их к моделям неопределённости типа Дирихле, вариационной регуляризации и сегментации медицинских изображений — чтобы устойчиво выделять значимые структуры в зашумлённых данных. Поэтому история реакционно-диффузионных систем для нас не только исторический обзор, но и основа текущих исследований.